GRAVITACIÓN * PROBLEMAS

1.- Un cometa de masa 1012kg achégase ó Sol dende un punto moi afastado do sistema solar, podéndose considerar que a súa velocidade inicial é nula.

1. Calcula-la súa velocidade no perihelio (situado a unha distancia aproximada de cen millóns de quilómetros do Sol).
2. Calcula-la enerxía potencial cando cruce a órbita da Terra (a unha distacia r=1'5.108km).

Datos: masa do Sol: 2.1030kg; G=6'67.10-11Nm2kg-2

SOLUCIÓN

a) Se o lugar de onde provén o cometa está moi afastado do sistema solar, podemos considerar que a distancia é infinita, e, polo tanto, a enerxía potencial será nula, o mesmo que a enerxía total, pois a velocidade inicial era cero.

No perihelio, ten unha enerxía potencial negativa que imos calcular, e que ten que ser contrarrestada, en base ó principio de conservación da enerxía, pola enerxía cinética, positiva. A partir desta, calculámo-la velocidade:

Ep=-GMm/r

Ec= (1/2)mv2

Ep+ Ec=0; -GMm/r + (1/2)mv2 =0

GMr-1=(1/2)v2

v=(2GM/r)2

v=(2.6'67.10-11.2.1030/1011)2 = 5'2. 104 ms-1

b) Para a enerxía potencial ó cruzar a órbita da terra, é indiferente de onde proceda o cometa, tendo que restablecer só a ecuación correspondente: Ep=-GMm/r

Entón, só nos resta substituí-los datos da masa do Sol, a do cometa e a distancia ó Sol cando cruza a órbita da terra, xunto coa constante de gravitación universal:

Ep=-GMm/r= - 6'67.10-11.2.1030.1012/1'5.1011

Ep= - 8'9.1020 J

2.- Nun planeta cun radio que é a metade do radio terrestre, a aceleración da gravidade na súa superficie vale 5 ms-2. Calcular:

1. A relación entre as masas do planeta e da Terra.
2. A altura a que é necesario deixar caer un obxecto no planeta, para que chegue a súa superficie coa mesma velocidade coa que o fai na Terra, cando cae dende unha altura de 100 m. (Na Terra: g =10 ms-2)

SOLUCIÓN

1. A intensidade do campo gravitatorio vén dada pola expresión:

g = G M/r2

a gravidade na superficie do planeta é : gp = G Mp / rp2 = 5 ms-2

a gravidade na superficie da Terra é: gT = G MT / rT2 = 10 ms-2

Despexando as masas do planeta e a Terra nestas expresións queda:

Mp = 5 rp2 / G.MT = 10 rT2 / G

Mp /MT = 0'5 rp2 / rT2

como rp = rT / 2

Mp /MT = 0'5.0'52.rT2 / rT2 = 0'125

MT = 8 Mp

b) A velocidade coa que chega ó chan un corpo que cae dende una altura " h", sen velocidade inicial, na que a intensidade do campo gravitatorio poida considerarse constante, vén dada pola expresión

v2 = 2gh

A velocidade que alcanza un corpo ó caer dende una altura de 100 m ata a Terra é

v = ( 2gThT )1/2 = ( 2.10.100) 1/2 = (2000) 1/2 m/s

No planeta para que chegue con esa velocidade terá que caer dende a altura seguinte

v2 = 2gphp

2000 =2.5.hp

hp = 200 m.

3.- Un satélite de comunicacións de 1 Tm describe órbitas circulares arredor da Terra cun período de 90 minutos. Calcular:

1. A altura a que se atopa sobre a Terra.
2. A enerxía total.

Datos: RT=6400 km; MT=5'96.1024 kg; G=6'67.10-11 Nm2kg-2

SOLUCION

a) A forza centrípeta que fai varia-la dirección da velocidade do satélite é a forza gravitatoria que exerce a Terra sobre o satélite a esa distancia do seu centro: mv2 /r = GMTm /r2

Sendo m = masa do satélite

v = velocidade do satélite na órbita

r = RT+h

G= constante universal

MT = masa da Terra

simplificando queda v2 = GMT /r

Por outro lado sabemos que o período é o tempo que tarda en dar unha volta completa T = 2pr /v

de onde v = 2pr /T

(2pr /T)2 = GMT /r

de onde r3 = GMTT2 / (4p2)

Substituíndo nesta expresión os datos que temos en unidades do Sistema Internacional obtémo-lo valor de

r = 6'647.106 m

r = RT + h

h = r - RT = 6'647.106 - 6'400.106 = 2'47.105 m

b) A enerxía total do satélite é a suma das súas enerxías cinética e potencial

ET = Em = EC + Ep

EC = (1/2)mv2 = (1/2)mGMT /r

Ep = - GMTm/r

Entón: ET = EC + Ep = - ½ GMTm/r

ET = - 6'67.10-11.5'96.1024.103/2.6'647.106 = - 2'99.1010 J

4.- Un corpo de masa 1000 kg atópase , xirando, a 200 km por enriba da superficie da Terra.

1. ¿Cal é a aceleración da gravidade a esa altura?.
2. ¿Cal é o valor da enerxía total?.

Datos: g0= 9'81 m/s2; RT= 6370 km

SOLUCIÓN.

a) Aplicando a segunda lei de Newton pódese obte-lo valor da aceleración a que está sometido na órbita. O descoñece-los valores de G e da masa da Terra, deberemos utiliza-lo valor de g0 e RT no cálculo.

F=ma; a= F/m

Neste caso a forza responsable desta aceleración é a forza gravitatoria: FG= G MT m/r2

Polo tanto: a= G MT /r2

Multiplicando e dividindo por RT2 obtemos:

a= G MT /r2 (RT2 /RT2) = g0RT2/r2

Substituíndo polos datos do problema (r= 6570 km) a aceleración da gravidade a esa altura é de : 9'22 ms-2

b) A enerxía total será a suma de EC+EP

Para calcula-la enerxía cinética:

Por atoparse en órbita:

FC = FG ; mv2 /r = G MT m/r2 de onde v2 = GMT /r

Entón: EC= (1/2) mv2 = (1/2) mGMT /r

Para calcula-la enerxía potencial : EP= - GMTm/r

Así , a Enerxía total, suma de ambas será:

EM = EC + EP = (1/2)mGMT /r - GMTm/r = - (1/2)GMTm/r

que posta en función de g0 quedará EM = - (1/2)g0 m (R2T /r)

A enerxía total será negativa por tratarse dun campo atractivo e considera-lo valor de referencia 0 para a enerxía no infinito.

Tras substituír polos datos do problema, o valor da enerxía total é de:

-3'03.1010 J

5.-En tres dos catro vértices dun cadrado de 10 m de lado colócanse outras tantas masas de 10 kg. Calcular:

1. O campo gravitatorio no cuarto vértice do cadrado.
2. O traballo realizado polo campo para levar unha masa de 10 kg dende dito vértice ata o centro do cadrado.

Dato: G= 6'67.10-11 Nm2kg-2

SOLUCIÓN

a) Supondo as masas situadas nos vértices (0,0), (10,0), (0,10) o vector g no (10,10) obteráse a partir da suma vectorial das intensidades creadas por cada unha das masas situadas nos outros vértices g = GMr0 /r2

A masa do vértice (0,0) crea

g1 = - 6'67.10-11 (10/2.102)(10i +10j)/14'14 =-2'36.10-12i - 2'36.10-12j Nkg-1

debido a masa de (10,0) teremos:

g2 = -6'67.10-11 (10/100)(10j/10) = - 6'67.10-12j Nkg-1

debido a masa do (0,10) teremos

g3 = - 6'67.10-11 (10/100)(10i/10) = - 6'67.10-12i Nkg-1

A intensidade no vértice (10,10) será:

g = - 9'03.10-12 i - 9'03.10-12 j Nkg-1

b) O traballo para leva-la masa de 10 kg dende o vértice (10,10) deica o punto (5,5) calcularase pola variación da enerxía potencial que posúe a masa de 10 kg neses dous puntos

W =-DEP= EP0 - EPf

como a enerxía potencial é : EP = - GMm/r teremos

Ep0 = - 6'67.10-11 (100/2001/2 + 100/10 +100/10 ) = -1'81.10-9 J

Epf = - 6'67.10-11 ( 100/501/2 + 100/501/2 + 100/501/2 ) = - 2'83.10-9 J

W = -1'81.10-9 - ( - 2'83.10-9 ) = 1'02.10-9 J ; traballo realizado polo campo.

6.- Sabendo que o planeta Venus tarda 224'7 días en dar unha volta completa arredor do Sol e que a distancia de Neptuno ó Sol é 4501.106 km así como que a Terra invirte 365'256 días en dar unha volta completa arredor do Sol e que a súa distancia a este é 149'5.106 km. Calcular:

1. Distancia de Venus ó Sol.
2. Duración dunha revolución completa de Neptuno arredor do Sol.

SOLUCIÓN

a) A 3ª lei de Kepler dinos que T2 = KR 3 sendo T o período de revolución do planeta e R o radio da súa órbita. Aplicando esto á Terra e a Venus teremos

T2T = KR3T

T2V = KR3V

de onde:

T2T /T2V = R3T / R3v

R3v = R3T T2V /T2T

e ó substituí-los datos do problema obtemos RV = 108'138·106 km

b) Facendo o mesmo coa Terra e Neptuno obteremos

T2T = KR3T

T2N = KR3N

T2N = T2T R3N /R3T

TN = 5'21.109 s = 165'2 anos

7.- Un satélite artificial de 200 kg describe unha órbita circular a 400 km de altura sobre a superficie terrestre. Calcula:

1. Enerxía mecánica.
2. A velocidade que se lle comunicou na superficie da Terra para colocalo nesa órbita.

Datos: G = 6'67·10-11 Nm2kg-2 ; MT = 5'96·1024 kg ; RT = 6370 km

SOLUCIÓN

1. A enerxía mecánica é a suma da enerxía cinética e a potencial

EM = Ec + Ep

que no caso do satélite orbitando terá a seguinte expresión

EM = (1/2) mv2+(-GMTm/r) = (1/2) mGMT /r - GMTm/r = -(1/2) GMTm/r

EM= - (1/2) 6'67·10-11·5'96·1024·200/6770·103 = - 5'53·109 J

b. Aplicando o concepto de conservación da enerxía mecánica ó momento do lanzamento

EM = -GMTm /RT + (1/2) mv2saída

substituíndo e resolvendo obtemos

vsaída = 7,9·103 m/s

8.- Un satélite cunha masa de 300 kg móvese nunha órbita circular a 5.10 7 m por enriba da superficie terrestre.

1. ¿Cal é a forza da gravidade sobre o satélite?.
2. ¿Cal é o período do satélite?.

Datos: g0= 9'81 ms-2; RT= 6370 km

SOLUCIÓN

1. Como sabémo-lo módulo da forza de atracción gravitatoria é:

FG= GMTm/r2

se multiplicamos e dividimos esta expresión por R2T transfórmase en:

FG = mg0 (R2T / r2 )

onde r = RT + h = 6370.103 + 5.107 = 5'637.107 m

Agora xa dispoñemos de tódolos datos precisos para substituír na expresión da forza, resultando:

F= 37'58 N

b) Para o satélite que orbita a forza centrípeta Fc = mv2 /r , é igual á forza gravitatoria antes calculada.

mv2 /r = 37'58 N ; v 2= ( 37'58.5'637.107 / 300 )2 = 2657'3 m/s

como o período é T = 2pr / v

T = 2.p. 5'637.107 / 2657'3 = 13'33.104 s = 37 horas

9.- Nos vértices dun cadrado de lado l= 3m hai masas de 10 kg cada una. Calcular:

1. A intensidade da gravidade no cuarto vértice creada polas tres masas.
2. O potencial gravitatorio en dito punto.

Datos: G= 6'67. 10-11 Nm2kg-2

SOLUCIÓN

a) A intensidade da gravidade no 41 vértice é a suma vectorial da que crean nese punto as masas situadas nos outros tres:

gtotal = g1 + g2 + g3 sendo g = - G Mr0 /r2

Tomamos como coordenadas dos puntos 1,2,3 e 4 as seguintes:

1(0,0); 2(3,0); 3(0,3); 4(3,3)

g1 = -6'67.10-11.(10/18).(3i + 3j)/4'24 = - 2'62.10-11 i - 2'62.10-11 j N/kg

g2 = - 6'67.10-11.(10/9).(3j/3) = -7'41.10-11 j N/kg

g3 = - 6'67.10-11.(10/9).(3 i/3) = -7'41.10-11 i N/kg

g = -10'03.10-11 i - 10'03.10-11 j Nkg-1

e o seu módulo será

g = 1,42. 10-10 Nkg-1

b) O potencial gravitacional será a suma alxébrica dos potenciais gravitacionais creados nese punto polas masas que se atopan nos outros tres vértices:

Vtotal = V1 + V2 + V3 sendo V = - G M/r

V= -6'67.10-11 [(10/181/2) + (10/3) + (10/3)] = -6,02. 10-10 Jkg-1

10.- Un astronauta de 75 kg xira nun satélite artificial onde a súa órbita dista h da superficie da Terra. Calcular:

1. O período de dito satélite.
2. O peso de dito astronauta.

Datos: g0= 9'81 m/s2; h= RT= 6370 km

SOLUCIÓN

a) O período do satélite é: T = 2pr /v sendo r o radio da órbita e v a velocidade do satélite na órbita.

r = RT + h = RT + RT = 2 RT = 2.6370.103 m

Como FC = FG teremos mv2 /r = G MT m/r2 de onde v2 = GMT /r

como nos datos non témo-los valores de G e MT , multiplicaremos e dividirémo-la expresión anterior por R2T para deixala en función de g0, e queda

v2 = g0 (R2T /r) = 31244850

v = 5589'7 m/s

Para calcula-lo período: T = 2 .p.2 .6370.103 /5589'7 = 14321 s = 4 h

b) Como o Peso = FG e FC = FG podemos emprega-la expresión

Peso = mv2 /r

P= 75.31244850 / 2.6370.103 = 183,75 N

11.- Quérese poñer nunha órbita de radio r= 5R/3 un satélite artificial de masa 10 kg, sendo R=6400 km. Calcular:

1. A velocidade de lanzamento.
2. A enerxía total do mesmo.

Datos: g0= 9'81 ms-2

SOLUCIÓN

a) A enerxía mecánica é a suma da enerxía cinética e a potencial

EM = EC + EP

que no caso do orbitando satélite terá a seguinte expresión

EM = (1/2) mv2+(-GMTm/r) = (1/2)mGMT/r -GMTm/r=-(1/2) GMTm/r

que posta en función de g0 quedará EM = - (1/2) g0m (R2T /r)

Aplicando o principio de conservación da enerxía, esta será a mesma que no momento de ser lanzado:

EM [na órbita]= EC + EP [no lanzamento]

-(1/2)g0 m (R2T /r)=-GMT m/RT+(1/2)mv2saída =-g0mRT +(1/2) mv2saída

de aquí teremos

v = [g0RT (2r- RT )/r ]2 = (g07RT/5)1/2

substituíndo os datos e operando queda

v= 9'37. 103 m/s

b) A enerxía total será como xa vimos

Em = - (1/2) g0 m (R2T /r) =- (1/2) g0 m (3RT /5) = -188'35. 106 J

12.- Se o radio da Lúa é unha cuarta parte do da Terra,

1. Calcula a súa masa.
2. Calcula o radio da órbita arredor da terra.

Datos: gL = 1'7 ms-2; gT= 9'8 ms-2 ; Masa da Terra = 5'9.1024kg.

Período da lúa arredor da terra = 2'36.106s

SOLUCIÓN

a) A intensidade do campo gravitatorio nas superficies da Lúa e a Terra é:

gL = 1'7 = GML/R2L = GML/(RT/4)2 = 16GML/R2T

gT = 9'8 = GMT/R2T

dividindo unha pola outra e substituíndo a masa da Terra teremos

1'7/9'8 = 16.ML/5'9.1024

de onde: ML = 6'40.1022 kg

b) O período de revolución é: T = 2pr/v ; v = 2pr/T

A partir da relación entre forza centrípeta e forza gravitatoria, temos: FC = FG

MLv2 /r = GMTML/r2

v2 = GMT/r

(2pr/T)2 = GMT/r

despexando r

r = [ GMTT2 /4p2 ]1/3

substituíndo os datos e operando teremos

r = 3'81.108 m

13.- Calcular:

1. A enerxía cinética que debería ter unha persoa de 70kg para orbitar arredor da Terra a unha altura 0.
2. ¿Canta enerxía sería necesaria para elevala a unha órbita estable a 6.370km de altura?

Datos:Raio da terra: 6.370km;G=6'67. 10-11 Nm2Kg-2;MT=5'96.1024 kg.

SOLUCIÓN

a) Para que dera voltas sen caer tería que suceder que a súa forza centrípeta fose igual á gravitatoria

mv2/RT = G.MTm/R2T de onde sacaremos que mv2 = GMTm/RT

entón a enerxía cinética é: Ec = (2) mv2 = (2) GMTm/RT

substituíndo os datos nesa expresión obtemos Ec = 2'18.109 J

b) Cando está na órbita a 6370 km da superficie da Terra terá unha enerxía total:

EM = (1/2) mv2 +(-GMTm/r) = (1/2)mGMT/r -GMTm/r=-(1/2) GMTm/r

EM = - 1/2 GMTm/r = - 1'09.109 J

esta enerxía será igual á suma da enerxía potencial na superficie da Terra e da enerxía cinética que lle temos que comunicar para poñela en órbita

EP sup = - 1/2 GMTm/RT = - 2'18.109 J

logo a enerxía cinetica que hai que comunicarlle será

EC = EM - EP sup = - 1'09.109 - (- 2'18.109) = 1'09.109 J

14.- Calcular:

1. A velocidade que leva na súa órbita un satélite xeoestacionario.
2. Se fora lanzado cun canon dende a Terra, desprezando o rozamento atmosférico, calcula-la velocidade de lanzamento necesaria.

Datos: G = 6'67.10-11 Nm2kg-2 ; MT = 5'96.1024 kg ; RT = 6370 km

SOLUCIÓN

a) Xeoestacionario, significa que está sempre sobre o mesmo punto, o cal implica que o seu período de rotación ten que ser igual ó da Terra e a súa órbita perpendicular ó Ecuador.

Como sabemos que T = 2pr/v = 86400s ; r = 86400.v/2p

Por outro lado temos que FC =FG ;

mv2 /r = GMTm/r2 ; r = GMT /v2

Igualando e despexando v teremos

v = (2p GMT /T)1/3 = (2p.6'67.10-11.5'96.1024 /86400)1/3

v = 3'07.103 m/s

b) A enerxía cinética dun corpo que orbita ó arredor a Terra é:

EC= (1/2)mv2 = (1/2) GMTm/r

e a enerxía mecánica é : EM = - (1/2) GMTm/r

Polo tanto a enerxía mecánica do satélite xeoestacionario é:

EM = - (1/2).m.30592 J

A enerxía mecánica expresada en función da EP na superficie da Terra e da EC de lanzamento será:

EM = - GMTm/RT + (1/2)mv2lanz.

- (1/2).m.30592 = - 6'67.10-11.5'96.1024.m /6370.103 + (1/2) mv2lanz.

de onde vlanz. = 1'07.104 m/s